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Download e-book for kindle: Angeordnete Strukturen: Gruppen, Körper, projektive Ebenen by S. Priess-Crampe

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By S. Priess-Crampe

ISBN-10: 3642686281

ISBN-13: 9783642686283

ISBN-10: 364268629X

ISBN-13: 9783642686290

Die Theorie angeordneter Strukturen hat sich in diesem Jahrhundert entwickelt. Sie beginnt mit den wichtigen Arbeiten von Holder, Hahn und Hausdorff: In seiner Arbeit iiber "Die Axiome der QuantiHit und die Lehre vom MaB" hat Holder 1901 bewiesen, daB sich jede archimedisch angeordnete Gruppe ordnungstreu in die addi tive Gruppe von R. einbetten HiBt. HOlder gewinnt eine solche Abbildung mittels der von Dedekind eingefUhrten Schnitte in

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Wir haben also nur noch zu zeigen, daB sie auch hinreichend ist. Sei PK der Positivbereich von K, weiter PK = PK U {O} und A = {a 2 : aEE}. Wir betrachten die Menge Wegen (*) ist Po= tt/;xr: nElN, P;EPK , X;EE} ein Element von mI, also mI nicht leer. mI ist beziiglich der Inklusion induktiv geordnet und enthiilt daher nach dem Zornschen Lemma ein maximales Element P. nit durch Pals Menge der nichtnegativen Elemente eine Anordnung fiber E definiert wird, ist nur noch zu zeigen, daB Pu- P = Eist.

0 Als direkte Folgerung aus diesem Satz erhalt man: Satz 15 (Zwischenwertsatz). Es sei K ein reell abgeschlossener Korper, feK[x], und a, b, t seien Elemente aus K mit f(a) < t o. Damit existiert nach dem vorhergehenden Satz zwischen a und b ein ceKmit g(c) = 0, alsof(c) = t. , = n n L: ajxi iiber einem Korper K seif' die formale Ableitung j=O L: jajxj - 1 • j=l Auch der nachste Satz ist eine Folgerung aus dem WeierstraBschen Nullstellensatz.

2 Artin-Schreiersche Theorie der formal reellen Karper In den reellen algebraischen Zahlkorpem ist -1 nicht als Summe von Quadraten darstellbar. Diese Eigenschaft nahmen Artin und Schreier zum Ausgangspunkt einer algebraischen Theorie angeordneter Korper. aBt, und nannten diese Korper formal reell. Vnter den formal reellen Korpem spielen die reell abgeschlossenen - das sind formal reelle Korper, die keine formal reellen, echten algebraischen Erweiterungen haben - eine besondere Rolle. Reell abgeschlossene Korper stehen in enger Beziehung zu den algebraisch abgeschlossenen Korpem: 1st K reell abgeschlossen, so ist K (i) mit i 2 = -1 algebraisch abgeschlossen; und hat ein selbst nicht algebraisch abgeschlossener Korper K einen algebraischen AbschluB von endlichem Grad iiber K, so ist K reell abgeschlossen.

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by Paul
4.2

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