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By Erich Hecke (auth.), Prof. Dr. Peter Roquette (eds.)

ISBN-10: 3322891704

ISBN-13: 9783322891709

ISBN-10: 3322891712

ISBN-13: 9783322891716

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D. [Ein Beispiel moge das verdeutliehen:'Es ist F15 (x) = x15_ 1 = (X-1)(x 2 +x+l)(x 4 +x 3 +x 2 +x+l) (x8-x7+x5-x4+x3-x+1) Die Faktoren reehts enthalten bezw. ] Diese Herstellung von Hm(x) ist etwas mUhsam, aber fUr uns genUgt es zun~ehst, die Existenz von Hm(x) erkannt zu haben. Es m eine ungerade Primzahl 1, so sind alle Wurzeln x = 1 primitiv: ~(1) = 1-1 und H (x) 1 1 = xx - 1 - 1 = x1- 1 au~er + x1 - 2 + ••• + x + 1 • lst m zusammengesetzt, so ist der Bau von ~(x) komplizierter. - 27 In allen F~llen ist Hm(x) = 0 eine galoissche Gleichung, denn jede Wurzel I~Bt sich ja rational durch jede andere ausdrucken.

E(~) = ~ ist primitive m-te Einheitswurzel vermoge der Funktionalgleichung und der Eigenschaften der Exponentialfunktion. AIle Wurzeln von (13) sind Potenzen von ~ und umgekehrt. Wir konnen diese also in zwei Klassen sondern, die primitiven, die etwa mit ~a bezeichnet seien, und die nicht primitiven ~b. Dann ist (a,m) = 1 und (b,m) > 1. 1st b = b'·f und m = m'·f und (b' ,m') = 1, so ist ~b eine primitive m'-te Einheitswurzel. Zwei Potenzen von ~ sind dann und nur dann gleich, wenn die Exponenten mod m kongruent sind.

IV; Bachmann, Zahlentheorie 5. ] 1) Korper. Es sei ein algebraischer Zahlkorper n. Grades gegeben. Wir werden die in ihm enthaltenen ganzen algebraischen Zahlen betrachten. Der Begriff der ganzen Zahl hat absolute 'Bedeutung, ist also nicht etwa mit Bezug auf den zu Grunde liegenden Korper definiert. Es gibt im Korper eine Basis. h. ) n n xi darstellbar sind. Mit ",(1 seien die Konjugierten zu '" bezeichnet. III' 1 '" 2' '" n "" n 2 =d ¥ 0 ",(n-1) 1 ist eine ganze rationale Zahl, die dem Korper als solchem, unabhangig von der besonderen Wahl der Basis, zukommt: die Diskriminante des Korpers.

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by Paul
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