Analysis

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Posted On March 16, 2018 at 2:11 pm by / Comments Off on Read e-book online Analysis 2 PDF

By Otto Forster

ISBN-10: 3834805750

ISBN-13: 9783834805751

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Diπ(2) Diπ(1) f f¨ur alle i1 , i2 , . , ik ∈ {1, 2, . , n} und jede Permutation π der Zahlen 1, . , k. Der Beweis erfolgt durch vollst¨andige Induktion u¨ ber k unter Verwendung der Tatsache, dass sich jede Permutation aus Vertauschungen benachbarter Glieder zusammensetzen l¨asst. Schreibweise. Man verwendet auch die Schreibweisen D j Di f = ∂2 f , ∂x j ∂xi Dik . . Di1 f = Di Di f = D2i f = ∂k f , ∂xik . . ∂xi1 ∂2 f ∂ = 2 ∂x ∂xi i 2 f, usw. 8) Beispiel. Sei U eine offene Menge im R3 . F¨ur ein partiell differenzierbares Vektorfeld v:U → R3 definiert man ein neues Vektorfeld rotv:U → R3 , die Rotation von v, folgendermaßen: rot v = ∂v3 ∂v2 ∂v1 ∂v3 ∂v2 ∂v1 .

Da K kompakt ist, gibt es endlich viele Indizes i1 , . . , ik ∈ I, so dass K ⊂ Vi1 ∪ . . ∪Vik . Daraus folgt f (K) ⊂ Ui1 ∪ . . d. 4) Insbesondere folgt aus Satz 6: Sind zwei metrische R¨aume X ,Y hom¨oomorph, und ist einer der beiden R¨aume kompakt, so auch der andere. Zum Beispiel ist die abgeschlossene Einheitskugel K := {x ∈ Rn : x 1} weder zur offenen Einheitskugel noch zum ganzen Rn hom¨oomorph; vgl. 3). Ebenso folgt (vgl. 4)), dass das Intervall [0, 2π[⊂ R nicht zur 1-Sph¨are S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} I.

Sind jetzt x, x ∈ X zwei beliebige Punkte mit x, x {1, . , k} mit x ∈ Bδ(x j )/2 (x j ), < δ, so gibt es ein j ∈ und deshalb x ∈ Bδ(x j ) (x j ). d. Bemerkung. Der Satz, dass jede stetige Funktion f : I → R auf einem kompakten Intervall I ⊂ R gleichm¨aßig stetig ist (An. 1, § 11, Satz 4), ist ein Spezialfall von Satz 9. 1. Man zeige, dass die Vereinigung von endlich vielen kompakten Teilmengen eines metrischen Raumes wieder kompakt ist. 2. Sei (X , d) ein metrischer Raum mit der trivialen Metrik, vgl.

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Analysis 2 by Otto Forster


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